Allgemeines zum Zahlenrechnen
Im 1. Schuljahr wird der Zahlenraum vor allem bis 20 in den Blick genommen. Ab dem 2. Schuljahr wird dieser systematisch und schrittweise bis 100 erweitert, im 3. Schuljahr bis 1000 und im 4. Schuljahr bis 1.000.000 und darüber hinaus. Dieser Aufbau hilft den Kindern, ein fundiertes Zahlen- und Größenverständnis aufzubauen und die Zahlenraumerweiterung erschließen zu können. Als Grundlage für die Zahlenraumerweiterungen zählt vor allem das dezimale Stellenwertsystem, welches verstehensorientiert ausgebaut werden muss. (vgl. Benz/ Padberg 2011, S. 57) Kinder mit Schwierigkeiten beim Mathematiklernen haben häufig auch Schwierigkeiten beim Rechnen in größeren Zahlenräumen. Sie nutzen an dieser Stelle verinnerlichte Lösungsstrategien des zählenden Rechnens, indem sie Zahlenwortreihen abzählen. Diese erweisen sich jedoch bei größeren Zahlen als nicht mehr tragfähig, fehleranfällig und zeitaufwändig.
Das sogenannte Zahlenrechnen steht besonders beim Kopfrechnen und halbschriftlichen Rechenverfahren im Vordergrund – es wird mit Zahlen gerechnet und nicht mit Ziffern. Dies ist möglich, da die „Besonderheiten der vorliegenden Zahlen ausgenutzt und flexibel passende Rechenstrategien eingesetzt werden“. Dem gegenüber stehen schriftliche Rechenverfahren, bei denen ein Ziffernrechnen fokussiert wird. (ebd., S. 170)
Um die Strategien des halbschriftlichen Rechnens verständnisbezogen anwenden zu können, sollten Zahl- und Operationsvorstellungen sowie das Stellenwertverständnis tragfähig ausgebaut sein.
Das Kopfrechnen erfolgt, wenn Aufgaben ohne Notationen, also mündlich und nicht schriftlich „im Kopf“ gelöst werden. Für Kopfrechenaufgaben eignen sich zu Beginn vor allem Aufgaben in einem Zahlenraum von 1 bis 10 bzw. 20. Lösungen sollen an dieser Stelle durch Zahlenbeziehungen und flexible Rechenstrategien ermittelt werden können und nicht etwa durch Zählstrategien.
Der Übergang vom Kopfrechnen zu halbschriftlichen Rechenstrategien gestaltet sich fließend und ergänzt sich gegenseitig. (vgl. Benz/ Padberg 2011, S. 87)
Beim halbschriftlichen Rechnen werden Zwischenschritte und Zwischenlösungen schriftlich notiert, die Rechnungen erfolgen jedoch auch im Kopf. Es wird auch von einem „gestützten Kopfrechnen“ (Dröge/ Ebeling/ Radatz/ Schipper 1998, S. 42) gesprochen.
Besonderheiten des halbschriftlichen Rechnens
Bei halbschriftlichen Rechenverfahren gibt es eine Vielfalt an Lösungswegen. Aufgaben werden in leichtere Teilaufgaben zerlegt und anschließend miteinander verknüpft oder es wird auf Ableitungen zurückgegriffen. Schülerinnen und Schüler lernen Beziehungen zwischen Zahlen zu erkennen und auszunutzen, um Lösungen geschickt zu berechnen. Die einzelnen Vorgehensweisen sollten von den Kindern eigenständig entdeckt und genutzt werden. Bei verschiedenen Aufgaben bieten sich unterschiedliche Lösungsstrategien an wobei nicht jede Strategie für jede Aufgabe sinnvoll ist. Für Kinder, die Schwierigkeiten beim Mathematiklernen haben und denen eine solche flexible Vorgehensweise noch fehlt, bietet es sich an, einzelne Strategien ausgiebig zu üben und gemeinsam mit dem Kind zu überlegen, welche Vorgehensweise und Notation dem Denken des Kindes am ehesten entspricht. Dabei ist es jedoch keineswegs förderlich, dem Kind die Anwendung einer gezielten Strategie vorzuschreiben. Auch die Notationsweise ist nicht verbindlich festgelegt. Das Notieren der Teilschritte oder Zwischenergebnisse dient der individuellen Merkhilfe, sodass Kinder selbst entscheiden können, welche Teilschritte sie schriftlich festhalten. (vgl. Benz/ Padberg 2011, S. 170ff.)
Bei der Erarbeitung der halbschriftlichen Rechenstrategien ist darauf zu achten, dass Schülerinnen und Schüler die Teilschritte inhaltlich nachvollziehen können. Nur dann können sie diese auch gewinnbringend anwenden und als sinnvolle Alternativen zu Zählstrategien einsetzen.
Für die verschiedenen Rechenoperationen der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division gibt es jeweils ähnliche strategische Vorgehensweisen. Nicht alle Strategien bieten sich jedoch in gleicher Form bei jeder Operation an:
- Schrittweises Rechnen (eine Zahl wird bspw. in Stellenwerte zerlegt und es wird mit Teilergebnissen weiter gerechnet)
- Stellenweises Rechnen (auch genannt „Stellenwerte extra“; beide Zahlen werden in ihre Stellwerte zerlegt, erst einzeln ausgerechnet und anschließend miteinander verknüpft)
- Vereinfachen (das Vereinfachen der Aufgabe, bspw. durch gegensinniges Verändern)
- Hilfsaufgabe (aufstellen einer ähnlichen, einfacheren Aufgabe und anschließende Korrektur, um das richtige Ergebnis zu erhalten)
Darüber hinaus gibt es auch sogenannte Mischformen, bei denen zum Teil schrittweise und zum Teil stellenweise gerechnet wird. „Im Unterricht mit lernschwachen Schülerinnen und Schülern ist zu beachten, dass es bei der Behandlung halbschriftlicher Strategien im ersten Schritt nicht darum geht, alle Strategien kennenzulernen, zu verstehen und anzuwenden. Wichtig ist, dass die Lernenden einen für sie geeigneten Weg finden, um eine bestimmte Aufgabe zu lösen.“ (Schmassmann/ Moser Opitz 2008, zit. nach: Moser Opitz/ Scherer 2010, S. 150)
Die verschiedenen Verfahren der einzelnen Operationen werden im Folgenden genauer erläutert.
Literatur:
Benz, Christiane/ Padberg, Friedhelm (2011): Didaktik der Arithmetik. Für Lehrerausbildung und Lehrerfortbildung. 4. Auflage, Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag.
Dröge, Rotraut/ Ebeling, Astrid/ Radatz, Hendrik/ Schipper, Wilhelm (1998): Handbuch für den Mathematikunterricht. 2. Schuljahr. Hannover: Schroedel Verlag.
Moser Opitz, Elisabeth/ Scherer, Petra (2010): Fördern im Mathematikunterricht der Primarstufe. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag.
Halbschriftliche Rechenverfahren zur Addition
Bei der Addition können verschiedene halbschriftliche Strategien angewendet werden, um geschickt zu der richtigen Lösung zu gelangen. Die konkrete Aufgabe rechtfertigt die entsprechend sinnvolle Strategie. Welche Strategie letztendlich gewählt wird, hängt von dem individuellem Umgang des Kindes mit den verschiedenen Strategien ab.
Stellenweises Rechnen
Beim „Stellenweisen Rechnen“ werden die beiden Summanden in ihre Stellenwerte zerlegt. Dies kann (bei zweistelligen Zahlen) entweder durch Zehner + Zehner und anschließend Einer + Einer erfolgen oder es werden zuerst die Einer und dann die Zehner berechnet. Bei dreistelligen Zahlen erfolgt zusätzlich die Zerlegung in die Hunderter-Stellenwerte. Die Teilergebnisse werden notiert und im Anschluss additiv miteinander verknüpft. Die Teilergebnisse des stellenweisen Vorgehens können leichter verknüpft werden, wenn die Vorteile von Zehnern und Einern genutzt werden und erkannt wird, dass z.B. 10 + 7 = 17 ist. Gegebenenfalls kann das Teilergebnis der Einer erneut in Einer und Zehner zerlegt werden, sofern die Einer zusammen addiert den Zehner überschreiten. Das Stellenweise Rechnen ist besonders gut dazu geeignet, das schriftliche Rechenverfahren vorzubereiten. (vgl. Benz/ Padberg 2011, S. 178)
Abb. 1: Stellenweise Rechenstrategie
Schrittweises Rechnen
Beim „Schrittweisen Rechnen“ wird nur einer der Summanden, zerlegt (überwiegend in Stellenwerte, denkbar sind aber auch Zerlegungen die zu bestimmten Zwischenergebnissen führen). Dabei wird mit dem jeweiligen Teilergebnis weiter gerechnet, bis man schließlich das Endergebnis erhält. Durch die Zwischenergebnisse, die für die weitere Verknüpfung der Aufgabe direkt genutzt werden, wird besonders das spätere Kopfrechnen (in größeren Zahlenräumen) vorbereitet. (vgl. Benz/ Padberg 2011, S. 178)
Abb. 2: Schrittweise Rechenstrategie
Mischform aus „Stellen- und Schrittweisem Rechnen“
Diese Strategie geht aus den beiden Hauptstrategien – der „Stellen- und Schrittweisen Strategie“ – hervor und ist eine Verknüpfung von Teilelementen. Aufgrund einer individuellen Vorgehensweise sind hier verschiedene Wege möglich: so kann der Summand erst in Stellenwerte zerlegt werden und anschließend ein schrittweises Verknüpfen der weiteren Zahlen erfolgen. (vgl. Benz/ Padberg 2011, S. 178f.)
Abb. 3: Mischform „Schrittweise“ und „Stellenweise“
Vereinfachen
Beim „Vereinfachen“ von Aufgaben werden Ableitungsstrategien genutzt. Die Aufgaben können durch operative Beziehungen verändert werden, wie beispielsweise durch das gegensinnige Verändern der beiden Summanden (Konstanzgesetz der Summe). Dadurch entsteht eine neue Aufgabe, die dasselbe Ergebnis wie die Ausgangsaufgabe hat. (vgl. Benz/ Padberg 2011, S. 179)
Abb. 4: Vereinfachen durch gegensinniges Verändern der Summanden
Hilfsaufgabe
Bei der „Hilfsaufgabe“ wird eine einfachere Aufgabe gebildet, die der Ausgangsaufgabe sehr ähnlich ist und somit die Ergebnisermittlung erleichtert. Das Ergebnis der Hilfsaufgabe muss anschließend an die Ausgangsaufgabe angepasst und noch korrigiert werden. Auch hier wird die Strategie des Ableitens genutzt. (vgl. Benz/ Padberg 2011, S. 179)
Abb. 5: Hilfsaufgabe und anschließende Korrektur
Halbschriftliche Rechenverfahren zur Subtraktion
Die halbschriftlichen Rechenstrategien der Subtraktion entsprechen analog den vier Hauptstrategien der Addition. Bei der Subtraktion kommt noch die Strategie des Ergänzens hinzu, welche es bei der Addition in diesem Sinne nicht gibt. (vgl. Benz/ Padberg 2011, S. 180) Ebenfalls gibt es auch bei der Subtraktion sogenannte Mischformen, wobei Elemente des „Stellen- und Schrittweisen Rechnens“ genutzt und vermischt werden.
Stellenweises Rechnen
Wie auch bei der Addition werden hier sowohl der Minuend als auch der Subtrahend in ihre Stellenwerte zerlegt, einzeln berechnet und die Teilergebnisse anschließend additiv miteinander verknüpft. Eine Schwierigkeit entsteht, wenn einzelne Stellenwerte des Subtrahenden (2. Zahl) größer sind als die des Minuenden (1. Zahl). Notiert man die Vorgehensweise analog zur Addition, erhält man hier negative Teilergebnisse, die für Kinder eine Herausforderung darstellen können. Diese Teilergebnisse müssen dann mit Vorzeichen verknüpft werden. (vgl. Benz/ Padberg 2011, S. 181f.)
Abb. 6: Stellenweise Rechenstrategie
Schrittweises Rechnen
Beim „Schrittweisen Rechnen“ wird nur eine Zahl in seine Stellenwerte zerlegt, in der Regel der Subtrahend. Zum Weiterrechnen wird jeweils das Teilergebnis genutzt, um schließlich das Endergebnis zu ermitteln. Analog zur Addition ist die Strategie des „Schrittweisen Rechnens“ gut geeignet, um das spätere Kopfrechnen in großen Zahlenräumen vorzubereiten und zu unterstützen. (Benz/ Padberg 2011, S. 181)
Abb. 7: Schrittweise Rechenstrategie
Vereinfachen
Beim „Vereinfachen“ von Subtraktionsaufgaben werden Ableitungsstrategien genutzt. Die Aufgaben können durch operative Beziehungen verändert werden, damit man durch leichtere Aufgaben und weniger Rechnen das richtige Ergebnis erhält. Bei der Subtraktion gelingt dies beispielsweise durch das gleichsinnige Verändern von Minuend und Subtrahend (Konstanzgesetz der Differenz). Dadurch entsteht eine neue Aufgabe, die dasselbe Ergebnis wie die Ausgangsaufgabe hat. (Benz/ Padberg 2011, S. 182)
Abb. 8: Vereinfachen durch gleichsinniges Verändern von Minuend und Subtrahend
Hilfsaufgabe
Bei der „Hilfsaufgabe“ wird eine einfachere Aufgabe gebildet, die der Ausgangsaufgabe sehr ähnlich ist und somit die Ergebnisermittlung erleichtert. Auch hier wird eine Ableitungsstrategie genutzt. Das Ergebnis der Hilfsaufgabe muss anschließend an die Ausgangsaufgabe angepasst und dementsprechend noch korrigiert werden. Dabei ist darauf zu achten, dass für die Korrektur die richtige Operation verwendet wird. (vgl. Benz/ Padberg 2011, S. 182)
Abb. 9: Hilfsaufgabe und anschließende Korrektur
Ergänzen
Bei der Strategie des „Ergänzens“ wird schrittweise vom Subtrahenden zum Minuenden ergänzt. Das Ergänzen ist eine vorteilhafte Strategie, wenn Minuend und Subtrahend nah beieinander liegen oder der Subtrahend nur um einige Zahlen kleiner ist als der nächste Zehner oder Hunderter. Dabei werden die Teilergänzung abschließend additiv verknüpft, um das richtige Ergebnis zu ermitteln.
Abb. 10: Ergänzen
Linktipp: KIRA: „Vorgehensweisen bei der halbschriftlichen Subtraktion“
Förderung halbschriftlicher Rechenstrategien zur Addition und Subtraktion
Damit Kinder die halbschriftlichen Rechenstrategien nicht nur als vorgegebenes Muster benutzen, sondern auch ein tiefergehendes Verständnis für die Vorgehensweisen entwickeln, eignet sich z.B. beim „Stellenweisen Rechnen“ auch die Thematisierung des Dienes-Materials. An diesem können die Stellenwerte durch die einzelnen Materialien besonders gut betrachtet werden. Das parallele Legen mit dem Material (Hunderterplatten, Zehnerstangen, Einerwürfel) veranschaulicht die einzelnen Stellen der Summanden und Kinder können Verbindungen zwischen Material, Stellenwerten und der Aufgabe herstellen. Ebenfalls sollte man die Kinder dazu anregen, ihre Denkwege zu erklären und selbst mit Material darzustellen, damit die Vorgehensweisen eigenständig sichtbar gemacht werden. (vgl. Benz/ Padberg 2011, S. 177) Dabei muss auch das Bündeln und Entbündeln – sowohl bei der Addition als auch bei der Subtraktion – betrachtet werden, welches für die Über- oder Unterschreitung von Hundertern oder Zehnern eine wesentliche Rolle spielt.
Abb. 11: Verdeutlichung der Stellenwerte mit dem Dienes-Material (verschriftlicht durch die entsprechenden Symbole)
Das „Schrittweise Rechnen“ kann ebenfalls mit Material verdeutlicht und somit das Vorgehen verständnisorientiert sichtbar gemacht werden. Hier eignet sich z.B. das Arbeiten am Rechenstrich, der auch eine einfache Notation zulässt. Mit Hilfe des Rechenstrichs (oder leeren Zahlenstrahls) können Kinder ihre Schritte, die zur richtigen Lösung führen, notieren und einzeichnen. Ebenfalls lässt der Rechenstrich unterschiedliche Schritte zu und unterstützt die Denkprozesse (vgl. Benz/ Padberg 2011, S. 176). Auch zum Ergänzen bei der Subtraktion ist der Rechenstrich ein gutes Unterstützungsmaterial, welches die einzelnen Schritte verdeutlicht. (vgl. ebd., S.183) Bei Schwierigkeiten mit den einzelnen Schritten können auch vorerst feste Schritte geübt werden, wie z.B. Zehner- oder Zwanzigerschritte. (vgl. Moser Opitz/ Scherer 2010, S. 153)
Abb. 12: Schrittweises Rechnen am Rechenstrich
Sowohl das Verfahren des Vereinfachens als auch der Hilfsaufgabe beruht auf Kenntnissen von Beziehungen und Zusammenhängen zwischen Zahlen und Aufgaben. Damit Hilfsaufgaben zum halbschriftlichen Rechnen genutzt werden können, ist es für Kinder sinnvoll, flexible Rechenstrategien genauer zu betrachten und ein grundlegendes Verständnis aufzubauen. Dazu kann der Blick gezielt auf einzelne Beziehungen und Analogien zwischen Aufgaben gelenkt werden. Wenn Kinder Rechenstrategien flexibel nutzen können, können diese Verfahren auch auf größere Zahlenräume und somit auf halbschriftliche Rechenverfahren übertragen werden und z.B. Analogieaufgaben, Nachbaraufgaben oder weitere Strategien genutzt werden, um geschickt Lösungen zu finden. (vgl. Benz/ Padberg 2011, S. 179)
Linktipp: Aufbau flexibler Rechenstrategien
Literatur:
Benz, Christiane/ Padberg, Friedhelm (2011): Didaktik der Arithmetik. Für Lehrerausbildung und Lehrerfortbildung. 4. Auflage, Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag.
Moser Opitz, Elisabeth/ Scherer, Petra (2010): Fördern im Mathematikunterricht der Primarstufe. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag.
Halbschriftliche Rechenverfahren zur Multiplikation
Die halbschriftlichen Rechenstrategien der Multiplikation sind den Verfahren zur Addition und Subtraktion ähnlich. Auch hier sind verschiedene Möglichkeiten der Notation und Vorgehensweisen legitim. Das „Schrittweise Rechnen“ ist bei der Multiplikation eine der zentralen Strategien. (vgl. Benz/ Padberg 2011, S. 184f.)
Schrittweises Rechnen
Beim „Schrittweisen Rechnen“ wird nur ein Faktor (genau wie bei den halbschriftlichen Verfahren des „Schrittweisen Rechnens“ zur Addition und Subtraktion) additiv, subtraktiv oder multiplikativ zerlegt, um eine komplexe Multiplikationsaufgabe in einfache Teilaufgaben zu unterteilen. Je nachdem welche Aufgabe vorliegt, bieten sich unterschiedliche Zerlegungen an. (vgl. Benz/ Padberg 2011, S. 185.)
Abb. 13: Schrittweise Rechenstrategie
Stellenweises Rechnen
Beim „Stellenweisen Rechnen“ werden beide Faktoren in ihre Stellenwerte zerlegt. Dabei entstehen mehrere Teilaufgaben mit entsprechenden Zwischenergebnissen. Hier bietet sich aufgrund der Übersichtlichkeit eine besondere Schreibweise an: das Malkreuz (vgl. Abb. 14). Die Teilprodukte werden hier zeilenweise oder spaltenweise addiert, um das Endergebnis zu ermitteln. Sind die Faktoren der Multiplikationsaufgabe dreistellig oder größer, ist das Malkreuz zum „Stellenweisen Rechnen“ nur bedingt geeignet, da das Rechnen mit vielen Nullen fehleranfällig und der Schreibaufwand sehr groß ist. (vgl. Benz/ Padberg 2011, S. 186)
Abb. 14: Stellenweise Rechenstrategie in einem Malkreuz
Vereinfachen
Beim „Vereinfachen“ (Ableitungsstrategie) wird die Aufgabe durch operative Beziehungen zu einer einfacheren Aufgabe verändert. Grundlage ist hier beispielsweise das Gesetzt der Konstanz des Produktes. Dabei bleibt das Produkt konstant, also das Ergebnis der neuen Aufgabe entspricht demselben der Ausgangsaufgabe, wenn der eine Faktor mit einer Zahl multipliziert wird und der zweite Faktor durch die gleiche Zahl dividiert wird (gegensinniges Verändern). Dieses Vorgehen ist allerdings nicht bei jeder Aufgabe möglich. (vgl. Benz/ Padberg 2011, S. 187)
Abb. 15: Vereinfachen durch Veränderung der Faktoren mit Ausnutzung des Konstanzgesetz des Produkts
Hilfsaufgabe
Bei der „Hilfsaufgabe“ wird eine einfachere Aufgabe gebildet, die der Ausgangsaufgabe sehr ähnlich ist und somit die Ergebnisermittlung erleichtert. Auch hier wird eine Ableitungsstrategie genutzt. Das Ergebnis der Hilfsaufgabe muss anschließend an die Ausgangsaufgabe angepasst und dementsprechend noch korrigiert werden. Hier muss bei der Korrektur darauf geachtet werden, dass die richtige Operation zur Verknüpfung der Teilergebnisse angewendet wird. Eine Hilfsaufgabe zu bilden bietet sich vor allem bei Aufgaben an, bei denen sich ein Faktor geschickt vergrößern oder verkleinern lässt. (vgl. Benz/ Padberg 2011, S. 187)
Abb. 16: Hilfsaufgabe mit anschließender Korrektur
Linktipp: KIRA: „Halbschriftliche Multiplikation: Strategien und Fehlermuster“
Halbschriftliche Rechenverfahren zur Division
Die Hauptstrategien der halbschriftlichen Rechenverfahren zur Division sind „Schrittweises Rechnen“, „Ableitungsstrategien“ und das Erstellen einer „Hilfsaufgabe“. Sowohl bei der Division als auch bei der Multiplikation fällt es oft schwer oder ist sogar unmöglich, geeignete leichte Aufgaben zu finden. Da das „Stellenweise Rechnen“ bzw. das Zerlegen des Dividenden in die Stellenwerte bei der Division als Strategie nicht anwendbar ist, verringert sich die Auswahl an geeigneten halbschriftlichen Rechenstrategien für die Division. (vgl. Benz/ Padberg 2011, S. 190)
Schrittweises Rechnen
Beim „Schrittweisen Rechnen“ liegt eine additive oder subtraktive Zerlegung des Dividenden (1. Zahl) in geeignete Vielfache des Divisors (2. Zahl) zugrunde. Die Ergebnisse der Zwischenschritte müssen miteinander verknüpft werden.
Abb. 17: Schrittweises Rechenverfahren
Hilfsaufgabe
Bei der „Hilfsaufgabe“ wird auf eine einfachere Aufgabe, die der Ursprungsaufgabe sehr ähnlich ist, zurückgegriffen. Das Zwischenergebnis muss noch korrigiert werden, um das richtige Endergebnis zu erhalten.
Abb. 18: Hilfsaufgaben
Vereinfachen
Eine Divisionsaufgabe kann durch das gleichsinnige Verändern von Dividend und Divisor vereinfacht werden. Jedoch kann dieses Verfahren nur bei Aufgaben angewendet werden, bei denen die Zahlen dafür geeignet sind. Diese zu erkennen ist für Kinder oft schwierig. (Schipper 2009, S. 160)
Abb. 19: Vereinfachen durch gleichsinniges Verändern
Linktipp: KIRA: „Vorgehensweisen bei der halbschriftlichen Division“
Förderung halbschriftlicher Rechenstrategien zur Multiplikation und Division
Eine wesentliche Grundlage des halbschriftlichen Rechnens ist der flexible Einsatz von Rechenstrategien in Abhängigkeit der gegebenen Zahlen und Aufgaben. (Benz/ Padberg 2011, S. 193) Bei der halbschriftlichen Multiplikation und Division werden die Aufgaben überwiegend in Teilaufgaben zerlegt, welche „im Kopf“ gerechnet und die jeweiligen Zwischenergebnisse notiert werden. Die Grundlage für die halbschriftlichen Strategien ist das Beherrschen des kleinen Einmaleins und Einsdurcheins, um die leichten Teilaufgaben sicher berechnen zu können. (vgl. Schipper 2009, S. 157) Daher sollten diese, nachdem sie in ihren Grundvorstellungen verstanden wurden, ausgiebig geübt und automatisiert werden. Wichtig ist dabei vor allem, dass die Kinder ein tragfähiges Operations- und Stellenwertverständnis ausgebildet haben, damit die Rechenverfahren nicht nur mechanisch abgearbeitet werden, sondern die Vorgehensweisen auch mit Verständnis ausgeführt werden.
Beim „Stellenweisen Rechnen“ bei der halbschriftlichen Multiplikation bietet sich für eine übersichtliche Notation das Malkreuz an. Für Kinder mit Schwierigkeiten beim Mathematiklernen kann es sinnvoll sein, den Blick erst auf eine spezifische Strategie zu legen und diese mit Material zu verdeutlichen. Dabei muss sichergestellt werden, dass das Kind die Grundvorstellung der Operation durchdrungen und auch ein Verständnis für Stellenwerte aufgebaut hat, damit dieses für das Zerlegen der Faktoren genutzt werden kann. Zur Unterstützung des Verständnisses für das Malkreuz kann beispielsweise eine Darstellung mit Punktemustern genutzt werden (vgl. Abb. 20). An diesem kann die Strategie anschaulich verbildlicht werden und Kinder können selbst Entdeckungen machen. Bei diesem Punktefeld sind 12 Reihen mit 13 Punkten dargestellt. Dies entspricht der Aufgabe 12 • 13. Die Anzahl der Punkte – das Ergebnis der Aufgabe – kann leicht anhand der vier Teilfelder mit 10 • 10, 2 • 10,10 • 3 und 2 • 3 Punkten bestimmt werden. (vgl. Benz/ Padberg 2011, S. 186)
Abb. 20: Darstellung der Aufgabe 12 • 13 am Punktefeld
Die Division ist für viele Schülerinnen und Schüler eine sehr anspruchsvolle Operation. Häufig scheitern sie beim Lösen von Divisionsaufgaben aufgrund eines fehlenden automatisierten 1 • 1 sowie eines mangelnden Operationsverständnisses der Division. Deswegen ist es wichtig, dass das Operationsverständnis der Division vollständig aufgebaut ist und flexibel zwischen den Grundvorstellungen „Aufteilen“ und „Verteilen“ gewechselt werden kann, bevor Rechenstrategien erarbeitet werden. Insbesondere beim „Schrittweise Rechnen“ muss der Dividend so zerlegt werden, dass die einzelnen Zahlen geeignete Vielfache des Divisors sind. Schon für diesen Schritt müssen die Schülerinnen und Schüler über die Fähigkeit der Zahlzerlegung und des 1 • 1 verfügen. (Dröge/ Ebeling/ Raratz/ Schipper 1999, S. 108ff.)
Linktipp: Aufbau von Operationsvorstellungen
Literatur:
Benz, Christiane/ Padberg, Friedhelm (2011): Didaktik der Arithmetik. Für Lehrerausbildung und Lehrerfortbildung. 4. Auflage, Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag.
Dröge, Rotraut/ Ebeling, Astrid/ Radatz, Hendrik/ Schipper, Wilhelm (1999): Handbuch für den Mathematikunterricht. 3. Schuljahr. Hannover: Schroedel Diesterweg Bildungsmedien GmbH & Co. KG
Schipper, Wilhelm (2009): Handbuch für den Mathematikunterricht an Grundschulen. Braunschweig: Westermann Schroedel Diesterweg Schöningh Winklers GmbH.